2.1 函数的连续性

1．试用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 定义证明下列结论．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在点 $\displaystyle x_{0}>0$ 处的连续性．
（2）$\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0, \infty)$ 内连续．

2．确定常数 $\displaystyle \alpha$ ，使 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}, x>0, \text { 连续．} \\ 1, x \leqslant 0\end{array}\right.$

3．证明下列结论．
（1）证明：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \pi x, x \text { 为有理数，} \\ 0, x \text { 为无理数 }\end{array}\right.$ ，在 $\displaystyle x=n$（ $\displaystyle n$ 是整数）连续，而在其他点处间断．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos n x, x \text { 为有理数，证明函数 } f(x) \text { 在点 } x_{k}=k+\frac{1}{2} \text {（为任意整数）连续，而在其他 } \\ 0, x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$点不连续．

4．讨论下列函数的连续性，并指出其间断点的类型。
（1）讨论函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1-\mathrm{e}^{\frac{x}{1-x}}}$ 的连续性，并指出其间断点的类型．
（2）分析函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\ln |x-1|}$ 的间断点及其类型．
（3）给出函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x}{|x|\left(x^{2}-1\right)}$ 的第二类间断点。
（4）给出函数 $\displaystyle f(x)=x\left[x^{-1}\right]$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的不连续点，其中 $\displaystyle \left[x^{-1}\right]$ 表示 $\displaystyle x^{-1}$ 的整数部分．
（5）分析函数 $\displaystyle f(x)=\frac{2^{\frac{1}{x}}-1}{2^{\frac{1}{x}}+1}$ 的间断点及其类型．
（6）设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow x} \frac{\ln \left(\mathrm{e}^{n^{2}}+1+|x|^{n^{2}}\right)}{n^{2}}$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在其定义域上的连续性．

5．举例或证明你的结论．
（1）是否存在在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上处处不连续的函数，它的绝对值却处处连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 连续，证明：$\displaystyle |f(x)|$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 也连续。问：如果 $\displaystyle f(x)$ 不连续，$\displaystyle |f(x)|$ 是不是也一定不连续？
（3）举出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 的例子，使 $\displaystyle f(x)$ 仅在当 $\displaystyle x=1,2,3$ 时连续，而其余的点都是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点．

6．举例或证明你的结论．
（1）定义函数如下：$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数，}(0 \leqslant x \leqslant 1) \text { ，证明：} \\ 0, x=0,1 \text { 及无理数，}\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（2）给出一个一元函数 $\displaystyle f(x)$ ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之。

7．证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 连续，则 $\displaystyle \varphi(x)=\min \{f(x), g(x)\}, \psi(x)=\max \{f(x), g(x)\}$ 也连续．
（2）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。令 $\displaystyle f(x)$ 的值等于三值 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ 中介于其他两值之间的那个值．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）令 $\displaystyle u_{n}(x)=\left\{\begin{array}{c}-n, x \leqslant n, \\ x, x \in(-n, n), f(x) \text { 为实函数，证明：} f(x) \text { 连续当且仅当 } g_{n}(x)=u_{n}[f(x)] \text { 对任 } \\ n, x \geqslant n,\end{array}\right.$意固定的 $\displaystyle n$ ，都是 $\displaystyle x$ 的连续函数．

8．证明下列结论．
（1）（复合函数的连续性）若 $\displaystyle g(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，记 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=u_{0}$ ，函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle u_{0}$ 连续，则复合函数 $\displaystyle f(g(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(g(x))=\lim _{u \rightarrow u_{0}} f(u)=f\left(u_{0}\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 上连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续且值域含于 $\displaystyle (A, B)$ ，则 $\displaystyle F(x)=f(x, \varphi(x))$ 在 $\displaystyle (a, A)$ 内连续．

9．证明下列的结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，对任意有理数 $\displaystyle r \in(a, b)$ 有 $\displaystyle f(x)=0$ ，则对任意 $\displaystyle x \in(a, b)$ 都有 $\displaystyle f(x)=0$ ．
（2）不存在在 $\displaystyle [a, b]$ 上不恒为零的连续函数，它在 $\displaystyle [a, b]$ 中的有理点都取值为零．

10．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 对任意 $\displaystyle x \in \mathbf{R}$ ，有 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 和 $\displaystyle x=1$ 处连续．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上为常数。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 连续且 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上为常数。青岛理工 2013／2009，华东理工 2006）
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ ：连续，且 $\displaystyle \forall n, f\left(x+\frac{1}{n}\right)=f(x)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 的常值函数．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有定义，在 $\displaystyle x=0$ 处连续，$\displaystyle \forall x \in \mathbf{R}, f(x)=f(2 x)$ ．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 为常数。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续，试证对一切 $\displaystyle x$ 满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x) \mathrm{e}^{x}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)=f(0) \mathrm{e}^{x}$ ．

11．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f\left(x^{2}\right)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ 。证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 0)$ 上满 足 $\displaystyle f\left(x^{3}\right)=f(x), \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(-1)$ ．证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(-1), x \in(-\infty, 0)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A(A$ 为常数），证明：$\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点的某一邻域内有界，且满足 $\displaystyle f(\alpha x)=\beta f(x), \alpha>1, \beta>1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点连续．

12．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 为周期函数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都是周期函数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-g(x))=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ 。

13．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为非常值连续周期函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 必有最小正周期．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的周期函数，其周期小于任意小的正数．证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 为常值函数．

14．设 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的单调有界函数，证明：
（1）对任意 $\displaystyle x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处存在左右极限（只证明一个即可）．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 可取到 $\displaystyle f(a), f(b)$ 之间的一切值，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．（重庆大学 2001，电子科技 2008／2003，大连理工 2000，江苏大学 2006／2012／2004，天津大学 2011，西安交大 2001，中科大 2009 （ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ）
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的充要条件是它的值域为闭区间 $\displaystyle [f(a), f(b)]$ ．

15．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内有定义，且 $\displaystyle \mathrm{e}^{x} f(x)$ 与 $\displaystyle \mathrm{e}^{-f(x)}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内都是单调递增的，试证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续．

16．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若对开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内的任一点均非 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上严格单调．
（2）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上处处连续，且为一一映射，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上必为严格单调．

17．讨论是否存在定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的函数使得 $\displaystyle f(f(x))=\mathrm{e}^{-x}$ ．

18．设连续函数 $\displaystyle f(x): \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 在所有无理数处取有理数，且 $\displaystyle f(0)=1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．

19．证明下列的结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 有介值性，而且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant K$（正常数），$\displaystyle x \in(a, b)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 右连续（同理在点 $\displaystyle b$ 左连续）。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle \mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数，定义：$\displaystyle g(x)=f(x+0)$ ．证明函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle \mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上每一点都右连续。北京交大 2006，江苏大学 2006）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上只有可去间断点，则 $\displaystyle m(x)=\lim _{v \rightarrow x} f(y)$ 是连续函数．

20．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明：函数 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t), m(x)=\inf _{a<t<x} f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，记 $\displaystyle g(x)=\max _{a<t<x} t^{2} \int_{a}^{t} f(s) \mathrm{d} s, a \leqslant x \leqslant b$ ，求证：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。
（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, b] \times[c, d](a, b, c, d$ 为实数，且 $\displaystyle a<b, c<d)$ 上连续．令 $\displaystyle g(x)=\sup _{y \in[c, d]} f(x, y)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ，证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle g(x)$ 连续．

21．证明下列的结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义且有界，则 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t)$ 是 $\displaystyle (a, b]$ 上的左连续函数．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ ：的增函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 上定义 $\displaystyle g(x)=\inf \{t \mid f(t)>x\}$ ．证明：函数 $\displaystyle g(x)$ 右连续．

22．用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有第一类不连续点，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a, b]$ 士 且 $\displaystyle \forall x_{0} \in[a, b], \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内，若对任意的 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，都有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} f(x)$（或 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(x), f_{-}^{\prime}(x)$ ）存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{+}} f(x)$ 也存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有界。华中师大 2009 ，扬州大学 2003）
（5）若 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上，$\displaystyle \forall x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle x$ 的邻域使 $\displaystyle f(x)$ 在该邻域内有界．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界。
（6）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，则必存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的某点，使得 $\displaystyle f(x)$ 在该点的任何邻域内无界．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明：（1）$\displaystyle \exists\left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ； （2）$\displaystyle \exists c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \forall \delta>0, f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 上无界．

23．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上至多只有第一类间断点，且 $\displaystyle \forall x, y \in(a, b)$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续。
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle (a, b)$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致连续．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的凸函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有界．

24．证明下列结论。
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在最大值和最小值．
（2）用有限覆盖定理证明：对 $\displaystyle [a, b]$ 上的恒正连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，存在常数 $\displaystyle C>0$ ，使 $\displaystyle f(x)>C, \forall x \in[a, b]$.

25．一个函数 $\displaystyle f(x):[a, b] \rightarrow \mathbf{R}$ 称作上半连续的，假如对给定的 $\displaystyle x \in[a, b]$ 及 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在一个 $\displaystyle \delta>0$ ，使得若 $\displaystyle y \in[a, b],|y-x|<\delta$ ，则 $\displaystyle f(x)<f(y)+\varepsilon$ ．证明：$\displaystyle [a, b]$ 上的上半连续函数是有上界的，且在某个点 $\displaystyle c \in[a, b]$ 处达到最大值．

26．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，且 $\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 为有限值．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界；（2）若存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta) \leqslant \min \{f(a+0), f(b-0)\}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内能取得最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=c$ ，当 $\displaystyle c$ 为有限值时，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内取得最大值或最小值．

27．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=+\infty$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内取得最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=-\infty$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最大值．

28．证明下列结论。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界．
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的有界函数．

29．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 个连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有最大值或最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=0=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty), f\left(x_{0}\right) \geqslant f(x)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有最大值．又问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上是否有最小值？说明理由．
（4）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, f(0)<A<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 有最小值．
（5）设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty), \lim _{x \rightarrow x} f(f(x))=+\infty$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 的最小值 $\displaystyle f(a)<a$ ，则 $\displaystyle f(f(x))$ 至少在两个点处取到它的最小值。

30．设 $\displaystyle f(x)$ 于 $\displaystyle [a,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant c>0$（ $\displaystyle c$ 为常数）．证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ；（2）$\displaystyle f(x)$ 于 $\displaystyle [a,+\infty)$ 必有最小值．

31．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数，满足：（I） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ；（II）$\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant L|x-y|$ ， $\displaystyle \forall x, y \in \mathbf{R}, L$ 为常数。证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ ！可以取到最大值和最小值；（2） $\displaystyle \max _{x \in \mathbf{R}}|f(x)| \leqslant \pi L$ ．

32．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=A$.
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且有唯一的最大值点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ．若有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ．

33．用确界存在定理证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle I$ 上的连续函数，则 $\displaystyle f(I)$ 是一个区间．

34．证明下列命题．
（1）叙述闭区间套定理，并用单调有界性定理证明闭区间套定理．
（2）叙述并证明区间套定理．
（3）用区间套定理证明确界原理、有限覆盖定理．
（4）用有限覆盖定理证明聚点定理、致密性定理、闭区间套定理．

35．叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之．（北京大学 2014（用致密性定理证明），中山大学 2013，浙江大学 2003，安徽大学 2002，北京科技 2012）

36．判断题．
（1）设 $\displaystyle f \in C(a, b)$ ，若存在 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则必存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．